Для описания самоорганизующейся критичности международная группа учёных представила новую модель, которая с помощью тропической геометрии связывает такие далекие друг от друга области как экономика, биология развития и гравитация. Это первая непрерывная модель такого рода, и она проще и универсальнее классической модели песочной кучи. Статья опубликована в PNAS, первый автор — Никита Калинин, НИУ ВШЭ — Санкт-Петербург, руководитель проекта — Эрнесто Люперсио, CINVESTAV, Мехико.

Говорят, что система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может вызвать цепную реакцию и привести к изменению ее поведения. Таковы, например, любые фазовые переходы: как только в воде, охлажденной до нуля градусов, появляется один центр кристаллизации, тут же замерзает целый кластер.

Существуют динамические системы, которые сами стремятся привести себя в состояние, близкое к критическому. Показательный пример — землетрясения. Если для замерзания воды необходимо подобрать определенные температуру и давление, то в случае землетрясений такие однозначные параметры отсутствуют. Основная причина явления кроется в постоянном движении тектонических плит, но в какой момент произойдет землетрясение, предсказать практически невозможно.

Многие исследователи пытались разгадать природу землетрясений. В середине XX века американские сейсмологи Гутенберг и Рихтер показали, что существует зависимость между силой и количеством землетрясений в определенном регионе. Эта зависимость описывается степенным законом: на двойной логарифмической шкале она имеет форму прямой.

Закон Гутенберга-Рихтера, где магнитуда землетрясения — логарифм высвободившейся энергии

Явления, которые обладают подобным признаком позднее были обнаружены в геофизике, космологии, экономике, теории управления риском и других областях. Все они могут быть описаны в рамках теории самоорганизующейся критичности (СОК).

Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэн и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью СОК: представьте квадратную сетку, в каждой вершине которой лежат песчинки. На сетку с определенной частотой падают новые крупинки. По определению, если в каждой вершине графа не более трёх песчинок, система находится в стабильном состоянии. Но как только в один из узлов падает четвертая песчинка, происходит обвал: песок сходит с этой вершины и перераспределяется на соседние узлы. Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние. Главная находка физиков состояла в том, что размер обвалившейся области подчиняется степенному распределению.

Модель песочной кучи (sandpile model) долгое время была простейшей моделью, описывающей СОК. При этом она показывает поведение критических систем исключительно на феноменологическом уровне. С ее помощью нельзя ни промоделировать землетрясение, ни предсказать поведение настоящей кучи песка.

Новая модель получила название тропической песочной модели (tropical sandpile model). Вместо сетки, на которой строилась классическая модель, в данном случае рассматривается тропическая кривая —плоский граф с прямолинейными ребрами —заключенная в квадрат. Кривая делит квадрат на многоугольные области, в которых случайным образом выбирается последовательность точек. При появлении каждой новой точки, тропическая кривая пытается через нее “пройти”: многоугольная область, куда попала точка, стягивается внутрь посредством параллельного переноса сторон. Как только одно из ребер натыкается на точку, процесс останавливается. Затем добавляется следующая точка и все повторяется. При этом предыдущая точка может снова оказаться не на кривой, и система начнет движение в ее сторону.

Процесс стягивания является предельным вариантом добавления песчинки в песочную кучу. Размеру лавин в новой модели соответствует площадь, которую заметают стягивающиеся области в процессе, инициированном добавлением очередной случайно выбранной точки.

Ученые надеются, что с помощью их модели удастся прояснить связь между разными явлениями, в которых проявляются свойства самоорганизованной критичности.

На видео: выпуклая область с квадратной сеткой. Во всех вершинах находится по три песчинки, по каждому клику мышки добавляется ещё одна песчинка. После каждого клика происходит релаксация (обвал) системы. Красным цветом отмечены вершины с четырьмя песчинками, белым – тремя, черным – меньше трех.

Затем картинка масштабируется: берётся сетка с меньшим шагом, но относительные положения точек, куда добавляются песчинки, не меняются. После релаксации получается та же картинка.

ТРЕТЬЯ МИРОВАЯ ВОЙНА: КТО СПРОВОЦИРУЕТ ГЛОБАЛЬНУЮ КАТАСТРОФУ – РАССКАЗАЛ АМЕРИКАНСКИЙ УЧЕНЫЙ